Elementarmathematik Beispiele

$8 \log_{6} (\sqrt{4 x^{- 1}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \log_{6} (\sqrt{4 \frac{1}{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$8 \log_{6} (\sqrt{\frac{4}{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{x}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{x}}$ um.

$8 \log_{6} (\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 \log_{6} (\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$8 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x^{1}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.6.6.5

Vereinfache.

$8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.7

Vereinfache $8 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{x}}{x})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{6} ({(\frac{2 \sqrt{x}}{x})}^{8}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ an.

$\log_{6} (\frac{{(2 \sqrt{x})}^{8}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.8.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{x}$ an.

$\log_{6} (\frac{2^{8} {\sqrt{x}}^{8}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\log_{6} (\frac{256 {\sqrt{x}}^{8}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{8}$ als $x^{4}$ um.

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Schritt 1.9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{6} (\frac{256 {(x^{\frac{1}{2}})}^{8}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{8}{2}}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.9.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.9.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{256 x^{\frac{4}{1}}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.9.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\log_{6} (\frac{256 x^{4}}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $256 x^{4}$ heraus.

$\log_{6} (\frac{x^{4} \cdot 256}{x^{8}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.10.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\log_{6} (\frac{x^{4} \cdot 256}{x^{4} x^{4}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{x^{4} \cdot 256}{x^{4} x^{4}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{256}{x^{4}}) - \log_{6} (\frac{7}{x}) + \log_{6} (7)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{\frac{256}{x^{4}}}{\frac{7}{x}}) + \log_{6} (7)$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (\frac{\frac{256}{x^{4}}}{\frac{7}{x}} \cdot 7)$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{6} (\frac{256}{x^{4}} \cdot \frac{x}{7} \cdot 7)$

Schritt 5

Kombinieren.

$\log_{6} (\frac{256 x}{x^{4} \cdot 7} \cdot 7)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $7$ aus $x^{4} \cdot 7$ heraus.

$\log_{6} (\frac{256 x}{7 \cdot x^{4}} \cdot 7)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{256 x}{7 \cdot x^{4}} \cdot 7)$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{256 x}{x^{4}})$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $256 x$ heraus.

$\log_{6} (\frac{x \cdot 256}{x^{4}})$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\log_{6} (\frac{x \cdot 256}{x \cdot x^{3}})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{6} (\frac{x \cdot 256}{x \cdot x^{3}})$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{6} (\frac{256}{x^{3}})$