Elementarmathematik Beispiele

$8 \log_{5} (\sqrt{7 x - 2}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $8 \log_{5} (\sqrt{7 x - 2})$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} ({\sqrt{7 x - 2}}^{8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sqrt{7 x - 2}}^{8}$ als ${(7 x - 2)}^{4}$ um.

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x - 2}$ als ${(7 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{5} ({({(7 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1.3

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + 1$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(7 x - 2)}^{4}}{\frac{5}{x}}) + 1$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} \frac{x}{5}) + 1$

Schritt 3.2

Kombiniere ${(7 x - 2)}^{4}$ und $\frac{x}{5}$ .

$\log_{5} (\frac{{(7 x - 2)}^{4} x}{5}) + 1$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{{(7 x - 2)}^{4} x}{5}$ als ${(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1}$ um.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1}) + 1$

Schritt 3.4

Schreibe $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x \cdot 5^{- 1})$ als $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + \log_{5} (5^{- 1})$ um.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + \log_{5} (5^{- 1}) + 1$

Schritt 3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - \log_{5} (5) + 1$

Schritt 3.6

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) - 1 + 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x) + 0$

Schritt 4.2

Addiere $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$ und $0$ .

$\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\log_{5} ({(7 x - 2)}^{4} x)$ um.

$\log_{5} (x {(7 x - 2)}^{4})$