Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x) - 4 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x) - 4 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - 4 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.3.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (x) - 4 \ln (x^{2} - 4)$

Schritt 1.5

Vereinfache $- 4 \ln (x^{2} - 4)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{4})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{4}})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (\frac{x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\ln (\frac{x}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}})$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$\ln (\frac{x}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}})$