Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 2) + \ln (x - 2) - \ln (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 2) (x - 2)) - \ln (x^{2} - 4)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 2^{2}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)})$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)})$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x - 2}{x - 2})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x - 2}{x - 2})$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1)$

Schritt 5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0$