Elementarmathematik Beispiele

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - \log (\frac{x}{y})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{\frac{x}{y}}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (x^{3} y^{2} \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} y^{2}$ heraus.

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (x^{2} y^{2} y) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\log (x^{2} (y^{1} y^{2})) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (x^{2} y^{1 + 2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Schritt 2.6

Vereinfache $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2} y^{3}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2})$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel auf $x \sqrt[3]{y}$ an.

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2})$

Schritt 2.8

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{y^{2}}$ um.

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}})$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt[3]{y^{2}}$ mit $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Schritt 6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ als $y^{2}$ um.

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Schritt 6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Schritt 6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Schritt 6.5.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{6}{3}}})$

Schritt 6.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Schritt 6.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Schritt 6.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Schritt 6.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{1}}})$

Schritt 6.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{2}})$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ heraus.

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2}})$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{1})$

Schritt 7.2.4

Dividiere $y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ durch $1$ .

$\log (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})$

Schritt 8

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ um.

$\log (y \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}})$

Schritt 9

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{4}})$

Schritt 10

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$\log (y \sqrt[3]{y^{3} y})$

Schritt 11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log (y (y \sqrt[3]{y}))$

Schritt 12

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege $y$ .

$\log (y \cdot y \sqrt[3]{y})$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\log (y^{2} \sqrt[3]{y})$