Elementarmathematik Beispiele

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt[3]{y}$ an.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Schritt 1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{y^{2}}$ um.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache $- 3 \log (\frac{y}{x})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log ({(\frac{y}{x})}^{3})$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} y^{2}$ heraus.

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ heraus.

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} (\sqrt[3]{y^{2}})}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{x^{3}}{y^{3}})$

Schritt 6

Kombinieren.

$\log (\frac{x y^{2} x^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 7

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{3}$ .

$\log (\frac{x^{3} x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log (\frac{x^{3} x^{1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x^{3 + 1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 7.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\log (\frac{x^{4} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{4} y^{2}$ heraus.

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}$ heraus.

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y})$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Schritt 10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Schritt 10.2

Bewege $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y (\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Schritt 10.3

Potenziere $\sqrt[3]{y^{2}}$ mit $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y ({\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Schritt 10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Schritt 10.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Schritt 10.6

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ als $y^{2}$ um.

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Schritt 10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Schritt 10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Schritt 10.6.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Schritt 10.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{6}{3}}})$

Schritt 10.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 10.6.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Schritt 10.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.6.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Schritt 10.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Schritt 10.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{1}}})$

Schritt 10.6.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{2}})$

Schritt 11

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 11.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1} y^{2}})$

Schritt 11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1 + 2}})$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{3}})$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ um.

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}}{y^{3}})$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}}}{y^{3}})$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{4}}}{y^{3}})$

Schritt 12.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{3} y}}{y^{3}})$

Schritt 12.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log (\frac{x^{4} y \sqrt[3]{y}}{y^{3}})$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{3}$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{4} y \sqrt[3]{y}$ heraus.

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y^{3}})$

Schritt 13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y}}{y^{2}})$