Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sqrt{x}$ und $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\sqrt{x} y$ heraus.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Schritt 5.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Schritt 5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Schritt 5.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Schritt 5.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{1}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Schritt 5.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Schritt 5.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Schritt 6

Addiere $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ und $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$