Elementarmathematik Beispiele

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere $(3 + x) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Schritt 2.3

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Schritt 4.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Schritt 4.2.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Schritt 4.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Schritt 4.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$