Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 1}}{x^{2} - 1})$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1^{2}})$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 1}$ mit $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{x}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))})$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)})$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)})$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)})$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)})$