Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) + \ln (4) - \ln (9))$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\ln (x \cdot 4) - \ln (9))$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x \cdot 4}{9})$

Schritt 3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{4 \cdot x}{9})$

Schritt 4

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{4 x}{9})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{4 x}{9})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x}{9}$ an.

$\ln (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\ln (\frac{4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\ln (\frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{2^{1} x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6.4

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{1}})$

Schritt 7.4

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3})$