Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot (2 h (x + 3) + \ln (x) - \ln (x^{2} - 1))$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 h (x + 3) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \cdot (2 h x + 2 h \cdot 3 + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 h x + 6 h + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (2 h x + 6 h + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}}))$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 h x + 6 h + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}))$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (2 h x) + \frac{1}{3} (6 h) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (h x) + \frac{1}{3} (6 h) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $h$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{h \cdot 2}{3} x + \frac{1}{3} (6 h) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{h \cdot 2}{3}$ und $x$ .

$\frac{h \cdot 2 x}{3} + \frac{1}{3} (6 h) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 h$ heraus.

$\frac{h \cdot 2 x}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 h)) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot 2 x}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 h)) + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h \cdot 2 x}{3} + 2 h + \frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{h \cdot 2 x}{3} + 2 h + \ln ({(\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{2 \cdot h x}{3} + 2 h + \ln ({(\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ an.

$\frac{2 h x}{3} + 2 h + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 5.2.2

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$\frac{2 h x}{3} + 2 h + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 6

Um $\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 h + \frac{2 h x}{3} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 h + \frac{2 h x}{3} + \frac{\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 3}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Multipliziere $\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 3$ .

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Schritt 8.1.1

Stelle $\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$ und $3$ um.

$2 h + \frac{2 h x + 3 \cdot \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})}{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache $3 \cdot \ln (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$2 h + \frac{2 h x + \ln ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})}^{3})}{3}$

Schritt 8.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ an.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.2.2

Wende die Produktregel auf ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x^{1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 8.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{1} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{(x + 1) {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})}{3}$

Schritt 8.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 8.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{(x + 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}{3}$

Schritt 8.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{(x + 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}{3}$

Schritt 8.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{(x + 1) {(x - 1)}^{1}})}{3}$

Schritt 8.4.4

Vereinfache.

$2 h + \frac{2 h x + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})}{3}$