Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 6) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Schritt 1

Vereinfache $2 \ln (x + 6)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 36))$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}) - \ln (x^{2} - 36))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 6)}^{2}}{x}}{x^{2} - 36})$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 36})$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6^{2}})$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 1}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 6)}^{2}$ und $x + 6$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x + 6$ aus ${(x + 6)}^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{x ((x + 6) (x - 6))})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $x + 6$ aus $x ((x + 6) (x - 6))$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) ((x + 6) \cdot 1)}{(x + 6) (x (x - 6))})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 6) \cdot 1}{x (x - 6)})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x + 6$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x + 6}{x (x - 6)})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{x + 6}{x (x - 6)})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 6}{x (x - 6)}$ an.

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{{(x (x - 6))}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 6)$ an.

$\ln (\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})$