Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot (\ln (x - 2) + 2 \ln (x + 2) - \ln (x + 2) - 5 \ln (x - 1))$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 2) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (x + 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - 5 \ln (x - 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache $- 5 \ln (x - 1)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2}) + \ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Schritt 3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}) - \ln ({(x - 1)}^{5}))$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{2} \frac{x - 2}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 5

Kombiniere ${(x + 2)}^{2}$ und $\frac{x - 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}{x + 2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{2} (x - 2)$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 6.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) \cdot 1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{\frac{(x + 2) (x - 2)}{1}}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 6.2

Dividiere $(x + 2) (x - 2)$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{5}}$ an.

$\ln (\frac{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 9

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{5 (\frac{1}{3})}})$

Schritt 9.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{5}{3}}})$