Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{5} \cdot \log_{b} (x^{2} y^{6}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{5} \log_{b} (x^{2} y^{6})$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} ({(x^{2} y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $x^{2} y^{6}$ an.

$\log_{b} ({(x^{2})}^{\frac{1}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{2 (\frac{1}{5})} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{6})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{6 (\frac{1}{5})}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Schritt 1.5

Multipliziere $- \frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle $\log_{b} (x^{6} y)$ und $\frac{5}{7}$ um.

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - (\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y))$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ , indem du $\frac{5}{7}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6} y)}^{\frac{5}{7}})$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $x^{6} y$ an.

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6})}^{\frac{5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Schritt 1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{6 (\frac{5}{7})} y^{\frac{5}{7}})$

Schritt 1.7.2

Multipliziere $6 (\frac{5}{7})$ .

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Schritt 1.7.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{5}{7}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{6 \cdot 5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Schritt 1.7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 3

Bringe $x^{\frac{2}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}} x^{- \frac{2}{5}}})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{\frac{30}{7}}$ mit $x^{- \frac{2}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5}} x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.3

Um $- \frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.4

Um $\frac{30}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $\frac{30}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{7 \cdot 5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 2 \cdot 7 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $30$ mit $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 150}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 4.7.3

Addiere $- 14$ und $150$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{136}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Schritt 5

Bringe $y^{\frac{5}{7}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}} y^{- \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6

Multipliziere $y^{\frac{6}{5}}$ mit $y^{- \frac{5}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.2

Um $\frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.3

Um $- \frac{5}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 25}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Schritt 6.6.3

Subtrahiere $25$ von $42$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{17}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$