Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{3} \cdot \ln (27) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \ln (27)$ , indem du $\frac{2}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (27^{\frac{2}{3}}) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\ln ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (3^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (3^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (3^{2}) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\ln (9) + \ln (20) - 3 \ln (8)$

Schritt 1.6

Vereinfache $- 3 \ln (8)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (9) + \ln (20) - \ln (8^{3})$

Schritt 1.7

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\ln (9) + \ln (20) - \ln (512)$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (9 \cdot 20) - \ln (512)$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{9 \cdot 20}{512})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $512$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $9 \cdot 20$ heraus.

$\ln (\frac{4 (9 \cdot 5)}{512})$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$\ln (\frac{4 (9 \cdot 5)}{4 (128)})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{4 (9 \cdot 5)}{4 \cdot 128})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{9 \cdot 5}{128})$

Schritt 5

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\ln (\frac{45}{128})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{45}{128})$

Dezimalform:

$- 1.04536777 \dots$