Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9) + \log_{6} (256))$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{36 (3)} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.1.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{6^{2} \cdot 3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (6 \sqrt{3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $256$ mit $6$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ als $- \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ um.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Schritt 2.7

Vereinfache $3 \log_{6} (9)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (9^{3}))$

Schritt 2.8

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (729))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \log_{6} (729))$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} \cdot 729)$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1536 \sqrt{3} \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 \sqrt{3}$ aus $1536 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} (768) \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} \cdot 768 \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (768 \cdot 3 \cdot 729)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $768$ mit $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2304 \cdot 729)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2304$ mit $729$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1679616)$

Schritt 7.3

Die logarithmische Basis $6$ von $1679616$ ist $8$ .

$\frac{6}{7} \cdot 8$

Schritt 8

Multipliziere $\frac{6}{7} \cdot 8$ .

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{6}{7}$ und $8$ .

$\frac{6 \cdot 8}{7}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{48}{7}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{48}{7}$

Dezimalform:

$6.\overline{857142}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6 \frac{6}{7}$