Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (4 x - 4) - \log_{2} (3 x^{2} + x - 4) + \log_{2} (3 x + 4)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 4}{3 x^{2} + x - 4}) + \log_{2} (3 x + 4)$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{4 x - 4}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 3

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 1 x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4} (3 x + 4))$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)} (3 x + 4))$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(x - 1) (3 x + 4)} (3 x + 4))$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 4$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 x + 4$ aus $(x - 1) (3 x + 4)$ heraus.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1)} (3 x + 4))$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1)} (3 x + 4))$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{x - 1})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{4 (x - 1)}{x - 1})$

Schritt 6.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\log_{2} (4)$

Schritt 7

Die logarithmische Basis $2$ von $4$ ist $2$ .

$2$