Elementarmathematik Beispiele

$y = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arcsin (\frac{y}{2})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (\frac{y}{2}) = x$ um.

$\arcsin (\frac{y}{2}) = x$

Schritt 2.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{y}{2} = \sin (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x)$

Schritt 2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \sin (x)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \sin (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 4.2.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x}{2})) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 \sin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \sin (x)) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sin (x)) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f (2 \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \sin (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arcsin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sin (x)$