Elementarmathematik Beispiele

$\log (\frac{m}{n}) = \frac{\log (m)}{\log (n)}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{\log (m)}{\log (n)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, \log (n), 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\log (n)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ mit $\log (n)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ mit $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \frac{\log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (n)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\log (m)}{\log (n)}$ in den Zähler.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0 \log (n)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe $\log (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)} = m$

Schritt 4.2

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.2.2

Zerlege $\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $\ln (m)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Schritt 4.2.5

Um nach $m$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $\ln (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.7.2.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.2.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.2.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.4

Subtrahiere $\ln (m)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Schritt 4.2.7.5

Um nach $m$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Schritt 4.2.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7.7

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.7.7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.7.7.2.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.2.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.2.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.7.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.4

Subtrahiere $\ln (m)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Schritt 4.2.7.7.5

Um nach $m$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Schritt 4.2.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7.7.7

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.7.7.7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.7.7.7.2.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.2.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.2.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.7.7.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.4

Subtrahiere $\ln (m)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Schritt 4.2.7.7.7.5

Um nach $m$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Schritt 4.2.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7.7.7.7

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.7.7.7.7.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.7.7.7.7.2.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.2.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.2.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.7.7.7.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.4

Subtrahiere $\ln (m)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Schritt 4.2.7.7.7.7.5

Um nach $m$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Schritt 4.2.7.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.7.7.7.7.7.1

Subtrahiere $m$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} - m = 0$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m + 0$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.3

Addiere $m$ und $0$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.2.7.7.7.7.7.5.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.5.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.5.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.6

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.7

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.7.1

Schreibe $\log (\frac{m}{n})$ als $\log (m) - \log (n)$ um.

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.7.2

Zerlege $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ durch Herausziehen von $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ aus dem Logarithmus.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.7.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Schritt 4.2.7.7.7.7.7.7.4

Mutltipliziere $\log (m) - \log (n)$ mit $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$