Elementarmathematik Beispiele

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 4 x + 48$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{12} x^{2} - 4 x + 48 = p$ um.

$\frac{1}{12} x^{2} - 4 x + 48 = p$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - 4 x + 48 = p$

Schritt 3

Subtrahiere $p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{12} - 4 x + 48 - p = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $12$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (\frac{x^{2}}{12}) + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 48 + 12 (- p) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 (\frac{x^{2}}{12}) + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 48 + 12 (- p) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 48 + 12 (- p) = 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x^{2} - 48 x + 12 \cdot 48 + 12 (- p) = 0$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $48$ .

$x^{2} - 48 x + 576 + 12 (- p) = 0$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$x^{2} - 48 x + 576 - 12 p = 0$

Schritt 4.3

Bewege $576$ .

$x^{2} - 48 x - 12 p + 576 = 0$

Schritt 4.4

Bewege $- 48 x$ .

$x^{2} - 12 p - 48 x + 576 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 48$ und $c = - 12 p + 576$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{48 \pm \sqrt{{(- 48)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 12 p + 576))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 48$ mit $2$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12 p + 576)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 4 \cdot (- 12 p + 576)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 4 (- 12 p) - 4 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 48 p - 4 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $576$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 48 p - 2304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Subtrahiere $2304$ von $2304$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{48 p + 0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Addiere $48 p$ und $0$ .

$x = \frac{48 \pm \sqrt{48 p}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Schreibe $48 p$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (3 p)$ um.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{48 \pm \sqrt{16 (3) p}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{48 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (3 p)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{48 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 p)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{48 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (3 p)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{48 \pm 2^{2} \sqrt{3 p}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{48 \pm 4 \sqrt{3 p}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{48 \pm 4 \sqrt{3 p}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{48 \pm 4 \sqrt{3 p}}{2}$ .

$x = 24 \pm 2 \sqrt{3 p}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 24 + 2 \sqrt{3 p}$

$x = 24 - 2 \sqrt{3 p}$