Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{625}{81})}^{x + 1} = {(\frac{3}{5})}^{x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (\frac{625}{81}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{625}{81})$ als $\ln (625) - \ln (81)$ um.

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (81)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (81)$ als $\ln (3^{4})$ um.

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (3^{4})) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (3^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) (\ln (625) - (4 \ln (3))) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Schritt 7

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) \ln (\frac{3}{5})$

Schritt 8

Schreibe $\ln (\frac{3}{5})$ als $\ln (3) - \ln (5)$ um.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ .

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Schritt 9.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (\ln (625) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.4.2

Mutltipliziere $\ln (625)$ mit $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.1.4.3

Mutltipliziere $- 4 \ln (3)$ mit $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.2

Vereinfache $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ .

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Schritt 9.2.1

Multipliziere $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x (\ln (3) - \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Schritt 9.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Schritt 9.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Schritt 9.2.2.2

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Schritt 9.2.2.3

Multipliziere $- 1 (- \ln (5))$ .

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Schritt 9.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + 1 \ln (5)$

Schritt 9.2.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $x \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) = - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Schritt 9.3.2

Addiere $x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Schritt 9.3.3

Subtrahiere $x \ln (3)$ von $- 4 x \ln (3)$ .

$x \ln (625) + \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Schritt 9.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $\ln (625)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.4.2

Addiere $4 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625) + 4 \ln (3)$

Schritt 9.4.3

Addiere $- \ln (3)$ und $4 \ln (3)$ .

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (625)$ heraus.

$x (\ln (625)) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3))$ heraus.

$x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5))$ heraus.

$x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Schritt 9.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ durch $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 9.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ durch $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5))}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 9.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

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Schritt 9.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 9.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 9.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 9.6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = - 0.6$