Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 1) = 2 + \ln (x - 1)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = 2$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 1 = e^{2} (x - 1)$

Schritt 5

Vereinfache $e^{2} (x - 1)$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = e^{2} x + e^{2} \cdot - 1$

Schritt 5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$x + 1 = e^{2} x - 1 \cdot e^{2}$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 e^{2}$ als $- e^{2}$ um.

$x + 1 = e^{2} x - e^{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $e^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - e^{2} x = - e^{2}$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x - e^{2} x$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- e^{2} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - e^{2} - 1$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ heraus.

$x (1 - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (1^{2} - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Schritt 8.3

Faktorisiere.

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Schritt 8.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - e^{2} - 1$

Schritt 8.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ durch $1 - e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ durch $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e$ .

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1 - e^{2}}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1^{2} - e^{2}}$

Schritt 9.3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e$ .

$x = \frac{- e^{2} - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{2}$ heraus.

$x = \frac{- (e^{2}) - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 9.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- (e^{2}) - 1 (1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 9.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$x = \frac{- (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 9.3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.3.4.1

Schreibe $- (e^{2} + 1)$ als $- 1 (e^{2} + 1)$ um.

$x = \frac{- 1 (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 9.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Dezimalform:

$x = 1.31303528 \dots$