Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{3} k (k + 5)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot 5$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot 5$

Schritt 1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} + 5 k$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{3} k^{2} + 5 k$

Schritt 2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{6}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)$ heraus.

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{6}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4 (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 (6 + 1)}{2}$

Schritt 4.2.3

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 7}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{28}{2}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $28$ durch $2$ .

$14$