Elementarmathematik Beispiele

$\arcsin (3 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arcsin (3 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (3 y) = x$ um.

$\arcsin (3 y) = x$

Schritt 2.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$3 y = \sin (x)$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sin (x)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \sin (x)$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x)}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x)}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arcsin (3 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arcsin (3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{\sin (\arcsin (3 x))}{3}$

Schritt 4.2.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\arcsin (3 x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sin (x)}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (3 (\frac{\sin (x)}{3}))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (3 (\frac{\sin (x)}{3}))$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sin (x)}{3}) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arcsin (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (x)}{3}$