Elementarmathematik Beispiele

${(x - 4)}^{2} = - 4 (y - 3)$

Schritt 1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ um.

$- 4 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (y - 3) = {(x - 4)}^{2}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (y - 3)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (y - 3)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y - 3$ durch $1$ .

$y - 3 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4}$

Schritt 1.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + 3$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = 3$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 3)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, 2)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 8