Elementarmathematik Beispiele

${(x^{2} + 2 y)}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{2 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{2 - 2} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{2})}^{2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 2} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} \cdot {(2 y)}^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{4} \cdot (2^{0} y^{0}) + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2^{0} x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} y^{0} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 2 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

$x^{4} + 2 x^{2} \cdot (2 y) + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 2 \cdot 2 x^{2} y + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{0}$ mit $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + {(x^{2})}^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.14

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.14.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + x^{2 \cdot 0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + x^{0} \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 1 \cdot {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(2 y)}^{2}$ mit $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + {(2 y)}^{2}$

Schritt 4.17

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$x^{4} + 4 x^{2} y + 2^{2} y^{2}$

Schritt 4.18

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{4} + 4 x^{2} y + 4 y^{2}$