Elementarmathematik Beispiele

${(2 n^{3} + 4 m^{2})}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - k} \cdot {(4 m^{2})}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 0} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 n^{3})}^{2 - 2} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 n^{3})}^{2}$ mit $1$ .

${(2 n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 n^{3}$ an.

$2^{2} {(n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(n^{3})}^{2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{3 \cdot 2} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 n^{6} \cdot {(4 m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $4 m^{2}$ an.

$4 n^{6} \cdot (4^{0} {(m^{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 4^{0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.7

Multipliziere $4$ mit $4^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{0}$ .

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4^{1 + 0} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.7.2

Addiere $1$ und $0$ .

$4^{1} n^{6} {(m^{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.8

Vereinfache $4^{1} n^{6} {(m^{2})}^{0}$ .

$4 n^{6} + 2 \cdot {(2 n^{3})}^{1} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$4 n^{6} + 2 \cdot (2 n^{3}) \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 n^{6} + 4 n^{3} \cdot {(4 m^{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$4 n^{6} + 4 n^{3} \cdot (4 m^{2}) + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 n^{6} + 4 \cdot 4 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere ${(2 n^{3})}^{0}$ mit $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(2 n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $2 n^{3}$ an.

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 2^{0} {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere ${(n^{3})}^{0}$ mit $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(n^{3})}^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.18

Multipliziere die Exponenten in ${(n^{3})}^{0}$ .

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Schritt 4.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + n^{3 \cdot 0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + n^{0} \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.19

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 1 \cdot {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(4 m^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + {(4 m^{2})}^{2}$

Schritt 4.21

Wende die Produktregel auf $4 m^{2}$ an.

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 4^{2} {(m^{2})}^{2}$

Schritt 4.22

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 {(m^{2})}^{2}$

Schritt 4.23

Multipliziere die Exponenten in ${(m^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.23.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 m^{2 \cdot 2}$

Schritt 4.23.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 n^{6} + 16 n^{3} m^{2} + 16 m^{4}$