Elementarmathematik Beispiele

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Schritt 1

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 1$ und $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Schritt 5.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Schritt 5.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.8

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.11.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.11.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.11.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Schritt 7

Da der inverse Tangens von $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{7 π}{6}$ und $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$