Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Schritt 2

Um $6 i$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Schritt 3

Kombiniere $6 i$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{2}{3}$ und $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{17}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 8.2

Potenziere $17$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 8.4

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 8.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Schritt 8.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Schritt 8.7

Um $\frac{289}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 8.8

Um $\frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $\frac{289}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Schritt 8.9.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Schritt 8.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Schritt 8.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $289$ mit $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Schritt 8.11.3

Addiere $2601$ und $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Schritt 8.12

Schreibe $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ als $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Schritt 8.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.13.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 8.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Schritt 10

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Schritt 11

Substituiere die Werte von $θ = 1.49252518$ und $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$