Elementarmathematik Beispiele

$i^{- 17}$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{17}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $i^{17}$ als ${(i^{4})}^{4} i$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $i^{16}$ aus.

$\frac{1}{i^{16} i}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $i^{16}$ als ${(i^{4})}^{4}$ um.

$\frac{1}{{(i^{4})}^{4} i}$

Schritt 2.2

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{4} i}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{4} i}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1^{4} i}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1 i}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{i}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 4

Multipliziere.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{1 i}{i i}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i i}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{i}{i^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{i}{i^{2}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{i}{- 1}$

Schritt 5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i$

Schritt 6

Schreibe $- 1 \cdot i$ als $- i$ um.

$- i$

Schritt 7

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 8

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 9

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 10

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 10.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 10.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = 1$

Schritt 11

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Schritt 12

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$