Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 5.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 5.3.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 5.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = 1$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Schritt 7

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{6}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$