Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x - 5}$ , $g (x) = x^{2} - 4 x - 12$

Schritt 1

Bestimme den Quotienten der Funktionen.

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{3 x - 5}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{\sqrt{3 x - 5}}{(x - 6) (x + 2)}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 x - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - 5 \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \geq 5$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{5}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{5}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{3}$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{3 x - 5}}{(x - 6) (x + 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 2$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{5}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{5}{3}, x \neq 6}$

Schritt 7