Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme den Quotienten der Funktionen.

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Schritt 1.1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Schritt 1.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Schritt 1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{x - 2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Schritt 1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ als $x - 2$ um.

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Schritt 1.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Schritt 1.2.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 \geq 0$

Schritt 3

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 2$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 2$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Schritt 7