Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Ersetze die Funktionsbezeichner durch die tatsächlichen Funktionen in $f (x) + g (x)$ .

$\sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{x^{2} - 2^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.2

Um $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 1) + x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 1 + x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + x^{2}}{x^{2} + 1}$