Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} + 2 y^{2} = 50$

Schritt 1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $50$ durch $2$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{2}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $25$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \cdot 2 - 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $25$ aus $25 \cdot 2$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) - 25 x^{2}}{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 25 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) + 25 (- x^{2})}{2}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (2) + 25 (- x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$ als $\frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5^{2} (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.8.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.8.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.8.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 (2 - x^{2})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.2.1.2

Dividiere $2 - x^{2}$ durch $1$ .

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 2$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Schritt 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Schritt 7.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Schritt 7.6

Schreibe $| x | \leq \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 7.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 7.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{2}$

Schritt 7.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 7.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{2}$

Schritt 7.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 7.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 7.8

Löse $- x \leq \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 7.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 7.8.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$x \geq - \sqrt{2}$

Schritt 7.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 7.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Schritt 9

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 5, 5]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 5 \leq y \leq 5}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}], {x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Wertebereich: $[- 5, 5], {y | - 5 \leq y \leq 5}$

Schritt 11