Elementarmathematik Beispiele

$\tan (x) = \frac{24}{7}$ , $\cos (2 x)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (x) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(24)}^{2} + {(7)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{576 + {(7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{576 + 49}$

Schritt 4.3

Addiere $576$ und $49$ .

Hypothenuse $= \sqrt{625}$

Schritt 4.4

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{25^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 25$

Schritt 5

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{7}{25}$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 8

Wende die Definiton von $c o s$ an, um den Wert von $\cos (x)$ zu finden. In diesem Fall $\cos (x) = \frac{7}{25}$ .

$\cos (x) = \frac{7}{25}$

Schritt 9

Setze die Werte in $2 \cos^{2} (x) - 1$ ein.

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{7}{25})}^{2} - 1$

Schritt 10

Berechne $2 {(\frac{7}{25})}^{2} - 1$ , um $\cos (2 x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{25}$ an.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{7^{2}}{25^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{49}{25^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{49}{625}) - 1$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $2 (\frac{49}{625})$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{49}{625}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 49}{625} - 1$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$\cos (2 x) = \frac{98}{625} - 1$

Schritt 10.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{625}{625}$ .

$\cos (2 x) = \frac{98}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}$

Schritt 10.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{625}{625}$ .

$\cos (2 x) = \frac{98}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2 x) = \frac{98 - 1 \cdot 625}{625}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$\cos (2 x) = \frac{98 - 625}{625}$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $625$ von $98$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 527}{625}$

Schritt 10.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = - \frac{527}{625}$