Elementarmathematik Beispiele

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (w) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= \sqrt{4 - 3}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

Ankathete $= \sqrt{4 - 3}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

Ankathete $= \sqrt{1}$

Schritt 4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

Ankathete $= 1$

Schritt 5

Bestimme den Wert von $\sin (w)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (w) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Multipliziere $\sin (\frac{w}{2})$ nach $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ aus.

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Schritt 7.1

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Schritt 7.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ um.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Schritt 7.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ um.

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Schritt 8

Wende die Definiton von $c o s$ an, um den Wert von $\cos (w)$ zu finden. In diesem Fall $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Setze die Werte in $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ ein.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 10.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 10.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Schritt 10.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$