Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\frac{5 π}{8}) = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ , $\sin (\frac{5 π}{16})$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (\frac{5 π}{8}) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(1)}^{2} - {(- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{(1 - v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $v$ .

Gegenkathete $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 - (- v \frac{2 - \sqrt{2}}{2}))}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $v$ .

Gegenkathete $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $- - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + 1 (\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}))}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}$ mit $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 5

Bestimme den Wert von $\sin (\frac{5 π}{8})$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}}{1}$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Dividiere $\sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$ durch $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(1 - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{(\frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2}) (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.3

Schreibe $\frac{2 - (2 - \sqrt{2}) v}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.3.3

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + 1 \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 + (- 2 + \sqrt{2}) v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{(2 - \sqrt{2}) v}{2})}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + (2 - \sqrt{2}) v}{2}}$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2} \cdot \frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}}$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{2 - 2 v + \sqrt{2} v}{2}$ mit $\frac{2 + 2 v - \sqrt{2} v}{2}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}}$

Schritt 7.9

Schreibe $\frac{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))$ um.

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Schritt 7.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)$ heraus.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{4}}$

Schritt 7.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 7.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v))}$

Schritt 7.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$

Schritt 7.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}$ .

$\sin (\frac{5 π}{8}) = \frac{\sqrt{(2 - 2 v + \sqrt{2} v) (2 + 2 v - \sqrt{2} v)}}{2}$

Schritt 8

Berechne $\sin (\frac{5 π}{16})$ .

$0.83146961$

Schritt 9

Setze die Werte in $0.83146961$ ein.

$\sin (\frac{5 π}{16}) = 0.83146961$