Elementarmathematik Beispiele

$y = | \cot (\frac{x}{4}) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = | \cot (\frac{x}{4}) |$ gleich $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\cot (\frac{x}{4})$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\cot (\frac{x}{4}) = 0$ .

$\cot (\frac{x}{4}) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\cot (\frac{x}{4}) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$\frac{x}{4} = arccot (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 (2) \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π$

Schritt 1.2.5

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$\frac{x}{4} = π + \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Vereinfache $4 (π + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 4 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 (2) \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π \cdot 2 + π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 2 (2 π + π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.6.2.2.1.4.1

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = 2 (3 π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 6 π$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cot (\frac{x}{4})$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Schritt 1.2.7.3

$\frac{1}{4}$ ist ungefähr $0.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 4$

Schritt 1.2.7.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$4 π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cot (\frac{x}{4})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π + 4 π n, 6 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 π + 4 π n$ .

$y = | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |$

Schritt 1.4

Die Absolutwert-Spitze ist $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$ .

$(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $y = | \cot (\frac{x}{4}) |$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\cot (\frac{x}{4})$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{4} = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 (π n)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x}{4} = 4 (π n)$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 (π n)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Entferne die Klammern.

$x = 4 π n$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4 π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4 π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(2 π + 4 π n, | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) |),$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 π + 4 π n & | \cot (\frac{2 π + 4 π n}{4}) | \end{array}$

Schritt 4