Elementarmathematik Beispiele

$1 = \frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ um.

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{4} + 81, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x^{4} + 81, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{4} + 81$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ mit $x^{4} + 81$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ mit $x^{4} + 81$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} + 81$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$18 x^{2} = 1 (x^{4} + 81)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x^{4} + 81$ mit $1$ .

$18 x^{2} = x^{4} + 81$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} - x^{4} = 81$

Schritt 4.2

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} - x^{4} - 81 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $18 x^{2} - x^{4} - 81$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Stelle $18 x^{2}$ und $- x^{4}$ um.

$- x^{4} + 18 x^{2} - 81 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- (x^{4}) + 18 x^{2} - 81 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 81 = 0$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 81$ als $- 1 (81)$ um.

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ heraus.

$- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Schritt 4.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (81)$ heraus.

$- (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Schritt 4.3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Schritt 4.3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Schritt 4.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 9$ .

$- {(u - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Schritt 4.3.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Schritt 4.3.8

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.8.1

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$- ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Schritt 4.3.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.6

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.6.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.6.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$