Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{6} - x^{4} - 81 x^{2} + 81$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x^{6} - x^{4}) - 81 x^{2} + 81$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = x^{4} (x^{2} - 1) - 81 (x^{2} - 1)$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 1$ .

$f (x) = (x^{2} - 1) (x^{4} - 81)$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = (x^{2} - 1^{2}) (x^{4} - 81)$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{4} - 81)$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 81)$

Schritt 6

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 9^{2})$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)))$

Schritt 8.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$