Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{4} - 24 x^{3} + 35 x^{2} + 6 x - 9$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = - 24 x^{3} + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 2

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 24 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 24 x^{3}$ heraus.

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 6 x$ aus $6 x$ heraus.

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 6 x (4 x^{2}) - 6 x (- 1)$ heraus.

$f (x) = - 6 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 3

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 35 x^{2} - 9$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 u - 9$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 35$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $35$ aus $35 u$ heraus.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 (u) - 9$

Schritt 8.1.2

Schreibe $35$ um als $- 1$ plus $36$

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 36) u - 9$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 9)$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 10

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)$

Schritt 12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 13

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ heraus.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 13.2

Faktorisiere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)$

Schritt 14

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)$

Schritt 15

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 15.1

Ordne Terme um.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)$

Schritt 15.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})$

Schritt 15.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 15.4

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})$

Schritt 15.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(u - 3)}^{2}$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(x - 3)}^{2}$