Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Schritt 1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 19$ und $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 5.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 6.4.4

Schreibe $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ als $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ um.

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 8

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$y = x^{2}$

Schritt 9

Löse $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Schritt 9.1.2

Addiere $5 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Schritt 9.1.3

Addiere $10 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Schritt 9.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.3

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 19$ und $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.5.4

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 9.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 9.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.5

Addiere $361$ und $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

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Schritt 9.6.4.1

Schreibe $- 19$ als $- 1 (19)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.6.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 9.6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 9.6.4.4

Schreibe $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ als $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ um.

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Schritt 9.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 9.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 10

Nehme an, dass $y = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ ist und $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ ist $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Schritt 11

Die gegebenen Funktionen sind von unterschiedlichem Typ. Das Transformieren einer Funktion ändert nicht ihren Typ, daher ist es umöglich, $f (x) = x^{2}$ nach $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ zu transformieren.

Unmögliche geometrische Transformation

Schritt 12