Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Schritt 1.4

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Schritt 1.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x - 8}{x + 7}$ in zwei Brüche.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Schritt 1.5.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{x - 10}{x + 8}$ in zwei Brüche.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$

Schritt 1.5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$

Schritt 1.5.2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.5.2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5.2.4

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5.2.5

Der Teiler von $x + 7$ ist $x + 7$ selbst.

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.5.2.6

Der Teiler von $x + 8$ ist $x + 8$ selbst.

$(x + 8) = x + 8$

$(x + 8)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.5.2.7

Das kgV von $x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 7) (x + 8)$

Schritt 1.5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ mit $(x + 7) (x + 8)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ mit $(x + 7) (x + 8)$ .

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x + 8) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 \cdot x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 8 x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 8 x - 8 (x + 8) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$x^{2} + 8 x - 8 x - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 8 x - 8 x - 64$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$x^{2} + 0 - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x + 8$ aus $(x + 7) (x + 8)$ heraus.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 64 = x (x + 7) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 \cdot x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Schritt 1.5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $x + 8$ aus $(x + 7) (x + 8)$ heraus.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Schritt 1.5.3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Schritt 1.5.3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 (x + 7)$

Schritt 1.5.3.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 10 \cdot 7$

Schritt 1.5.3.3.1.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $7$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 70$

Schritt 1.5.3.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Schritt 1.5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.5.4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Schritt 1.5.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.4.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Schritt 1.5.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

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Schritt 1.5.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Schritt 1.5.4.2.2.2

Addiere $- 3 x - 70$ und $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Schritt 1.5.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.4.3.1

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 64 + 70$

Schritt 1.5.4.3.2

Addiere $- 64$ und $70$ .

$- 3 x = 6$

Schritt 1.5.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 6$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 6$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Schritt 1.5.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.5.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Schritt 1.5.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Schritt 1.5.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.4.3.1

Dividiere $6$ durch $- 3$ .

$x = - 2$

Schritt 1.6

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear