Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

Schritt 1

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Berechne $f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Schritt 3.1.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.1

Addiere $- 108$ und $18$ .

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 90$ und $18$ .

$f (- 3) = - 72 + 7$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 72$ und $7$ .

$f (- 3) = - 65$

Schritt 4

Berechne $f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$f (- 1) = 4 + 7$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $7$ .

$f (- 1) = 11$

Schritt 5

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.83607126$

Schritt 6

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[- 65, 11]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[- 3, - 1]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[- 3, - 1]$ befinden sich bei $x \approx - 1.83607126$ .

Schritt 7