Elementarmathematik Beispiele

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Schritt 1

Bringe jede Ebenengleichung in die Koordinatenform.

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Schritt 1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{f}$ und $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Schritt 2

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt $(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ und Ebene $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene $P_{1}$ und Ebene $P_{2}$ , wobei die Normalvektoren $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene $P_{2}$ ein, sodass $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach $t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von $t$ nach $t$ auf, um den Schnittpunkt $(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 3

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 3.1

$P_{1}$ ist $2 f = - 1$ . Finde den Normalvektor $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Schritt 3.2

$P_{2}$ ist $\frac{9}{f} = 4$ . Finde den Normalvektor $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Schritt 3.3

Berechne das Skalarprodukt von $n_{1}$ und $n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden $x$ , $y$ und $z$ Werte in den Normalvektoren.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 3.4.1

Entferne die Klammern.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 3.4.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 3.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4

Das Skalarprodukt ist $0$ , folglich stehen die Ebenen senkrecht aufeinander.

Es gibt keine Schnittmenge.