Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Schritt 2

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Berechne $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{2}{9}$ und $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Schritt 5

Berechne $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Schritt 5.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 5.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Schritt 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ um.

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $\frac{2}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Schritt 6.3.3.2

Dividiere $\frac{2}{9}$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Schritt 6.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Schritt 6.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.1

Berechne $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Schritt 6.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Schritt 6.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Schritt 6.7.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Schritt 6.7.3

Subtrahiere $0.22409309$ von $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Schritt 6.8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[0, \frac{π}{2}]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[0, \frac{π}{2}]$ befinden sich bei .

Schritt 8