Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $25 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kombiniere $- 25$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{4}$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{4}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$ .

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Schritt 5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{4}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{25 x^{2}}{4}$ als ${(\frac{5 x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = \frac{5 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 7

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 8

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 10

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2 + 5 x$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 10.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2) + 5 (x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 11

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 12

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 14

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2 - 5 x$ heraus.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 14.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2) + 5 (- x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{5 (2 + x)}{2}$ mit $\frac{5 (2 - x)}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 16

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 18

Schreibe $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 18.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 (2 + x) (2 - x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 18.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 18.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 19

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 20

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 21

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 22

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 24

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2 + 5 x$ heraus.

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Schritt 24.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 24.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 24.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2) + 5 (x)$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 25

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 26

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

Schritt 27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

Schritt 28

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2 - 5 x$ heraus.

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Schritt 28.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

Schritt 28.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

Schritt 28.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2) + 5 (- x)$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

Schritt 29

Mutltipliziere $\frac{5 (2 + x)}{2}$ mit $\frac{5 (2 - x)}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

Schritt 30

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 31

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

Schritt 32

Schreibe $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 32.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 (2 + x) (2 - x)$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Schritt 32.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 32.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Schritt 33

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - (\frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

Schritt 34

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Schritt 35

Die gegebene Gleichung $y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}, - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$