Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{2}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = \frac{1}{2}$ und $r = \frac{1}{2}$ ein.

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}$

Schritt 4.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Schritt 5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 10.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 11.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{15}{16} \cdot 2$ heraus.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{15}{16}$