Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{5} \cdot \log_{a} (x^{15} y^{10}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{3}{5} \log_{a} (x^{15} y^{10})$ , indem du $\frac{3}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} ({(x^{15} y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $x^{15} y^{10}$ an.

$\log_{a} ({(x^{15})}^{\frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{15})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{15 (\frac{3}{5})} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\log_{a} (x^{5 (3) \frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (x^{5 \cdot 3 \frac{3}{5}} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (x^{3 \cdot 3} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\log_{a} (x^{9} {(y^{10})}^{\frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{10})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{10 (\frac{3}{5})}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\log_{a} (x^{9} y^{5 (2) \frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (x^{9} y^{5 \cdot 2 \frac{3}{5}}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (x^{9} y^{2 \cdot 3}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + 12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.5

Vereinfache $12 \log_{a} (x^{\frac{3}{4}})$ , indem du $12$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{12}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{12}$ .

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Schritt 1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot 12}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot (4 (3))}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{\frac{3}{4} \cdot (4 \cdot 3)}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{3 \cdot 3}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{9}) - 13 \log_{a} (y)$

Schritt 1.7

Vereinfache $- 13 \log_{a} (y)$ , indem du $13$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{a} (x^{9} y^{6}) + \log_{a} (x^{9}) - \log_{a} (y^{13})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{a} (x^{9} y^{6} x^{9}) - \log_{a} (y^{13})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{a} (\frac{x^{9} y^{6} x^{9}}{y^{13}})$

Schritt 4

Multipliziere $x^{9}$ mit $x^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{9}$ .

$\log_{a} (\frac{x^{9} x^{9} y^{6}}{y^{13}})$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{a} (\frac{x^{9 + 9} y^{6}}{y^{13}})$

Schritt 4.3

Addiere $9$ und $9$ .

$\log_{a} (\frac{x^{18} y^{6}}{y^{13}})$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{6}$ und $y^{13}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $y^{6}$ aus $x^{18} y^{6}$ heraus.

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{13}})$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y^{6}$ aus $y^{13}$ heraus.

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{6} y^{7}})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{a} (\frac{y^{6} x^{18}}{y^{6} y^{7}})$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{a} (\frac{x^{18}}{y^{7}})$